本文概述了卷积运算，并讨论了卷积运算的两个应用。
背景信息
世界上越来越多的电子产品，一些是必需品，但大多数是奢侈品。不管它们属于哪一类，我们都可以注意到一个基本事实，即它们都是利用“信号”来完成任务的。
现在，它足以有信号吗？不，绝对没有。当我们有信号时，在某个时间点，我们会肯定会提出需要处理它们。所有这样的信号操纵操作都可以在一个名为“信号处理”的公共但非常宽的分支下方分组。
根据处理信号所涉及的复杂性，我们可以将信号操作分为两大类。它们是:
卷积
在本文中，我们将讨论一种叫做卷积的高级信号处理技术。在谷歌上简单搜索一下这个词，我们就会发现它的定义:“线圈或扭曲”。虽然这不是我们要用的定义，但卷积可以用类似的方式来解释即使我们用信号来处理它。
这是因为涉及卷积两个信号的步骤x1(n),x2(n):
- 保持一个信号，我们会打电话的x1(n-当它翻转另一个-我们称之为x2(n-沿时间轴。
- 幻灯片x2(n)在x1(n[乘以重叠的样本并在每次瞬间汇总产品术语。
图1显示了在两个离散时间信号上执行这种卷积操作的一个例子x1(n] = {2,0，-1,2}和x2(n={- 1,0,1}。这里第一行和第二行对应于原始信号x1(n和信号的翻转版本x2(n),分别。
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图1所示。求卷积的图解法
接下来，我们有第三行，它包含前两行重叠示例的产品(用蓝色字体写的值)。最后，将这些乘积项相加，就可以得到卷积信号的样本，其对应的值用图中的红色字体表示。
因此，在考虑的示例中，我们具有我们的卷曲输出信号y(n={-2, 0, 3， -2， -1, 2}。
数学表达式
当定义任何运算时，用数学术语表示它是有帮助的。卷积也不例外!
从数学上讲，卷积方程与相关方程非常相似。然而，与相关性不同的是，卷积涉及到一个信号的翻转。这种时间反转可以表示为(t-τ.),τ.是考虑的时间-瞬间。
因此，对于连续时间信号x1(t)和x2(t)我们可以把卷积运算表示为
$ $ y \左(t \右)= \ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} \左\{间的{1}\离开(\τ\右)间的{2}\离开(t - \τ\)\右\}\τ$ $
或者
$ $ y \左(t \右)= \ int_ {- \ infty} ^ {\ infty} \左\{间的{1}\离开(t - \τ\右)间的{2}\左右(\τ\)\ \}\τ$ $
等效，对于离散时间信号，我们有
左右$ $ y \ [n \] = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty \左\{间的{1}\ [k正确\]离开间的{2}\左右[n - k正确\]\ \}$ $
或者
左右$ $ y \ [n \] = \ sum_ {k = - \ infty} ^ \ infty \左\{间的{1}\ [n - k正确\]离开间的{2}\左右[k正确\]\ \}$ $
应用程序
用传递函数来表征线性时不变(LTI)系统
考虑一个我们需要描述一个未知系统的情况。这一点很重要，因为它将帮助我们深入了解这个系统的工作原理。描述一个系统的一种方法是用它的频率传递函数或它的频谱来表示它。
为了实现这一目标，一个大范围的频率(例如通过使用扫描发生器产生的)一次施加在系统上，并获得每个频率的系统响应。如果我们对每个频率都保持相同的振幅和相位，我们可以得出结论，在各自输出中观察到的任何振幅和/或相位变化都表明了系统的特性。因此，这些响应的累积结果将是系统的频率传递函数。
但是，还有一种解决这个问题的方法。回想一下，Delta函数的傅里叶变换有一个平坦频谱，常数值为1整个频率范围。这表明，可以使用单个脉冲函数作为其输入，而不是产生施加在系统上的所有可能的频率。然而，在这样做的过程中，我们将频域问题转化为时域问题。
输入信号的这种变化方式也要求对其进行操作。新的信号运算是卷积。这是因为卷积定理，频域中的乘法将采用时域中的卷积形式，并且时域中的乘法将采用频域中的卷积形式。
所以我们在频域中使用所有的频率得到的结果和我们在时域中使用脉冲函数结合卷积运算得到的结果是一样的。
它的一个直接含义是卷积的一个主要应用:用传递函数来表征一个系统。注意，如果系统是线性和定常的(LTI)，那么它对脉冲输入的响应足以定义其传递函数的特性(见图2)。
图2。用脉冲响应来表征系统
确定已知输入时LTI系统的输出
考虑一个系统的脉冲响应如图2所示的情况。
现在，我们假设这个系统是线性的在它的输入处由一个单尺度的脉冲提供信息。在这种情况下，我们可以预期系统的输出将与图2中获得的系统响应相同，除了被缩放的程度等于输入的程度(图3的最右边)。
图3。线性系统对输入的缩放脉冲的响应
接下来，我们假设系统具有时不变性。在这种情况下，如果我们给它提供一个脉冲，沿时间轴移动，那么系统将产生一个脉冲响应移动等量的输出(如图4所示)。
图4。在其输入端时断脉冲的时间不变系统的响应
现在，如果系统既是线性的又是定常的呢?只是结合两者的结果!
如果系统是LTI，那么在其输入处缩放移位的脉冲函数将在其输出处产生缩放移位的脉冲响应(如图5所示)。
图5。LTI系统对缩放、移位脉冲函数的响应
你可能想知道我们为什么要讨论这个。在我回答之前，让我们先建立一个关于信号的重要事实，我希望你们大多数人都熟悉这个事实:任何信号都可以用单位脉冲或狄拉克脉冲函数来表示。(查看这些参考资料获取更多信息:信号，线性系统，卷积和自然域信号:离散时间卷积。）
现在，为了得到答案，让我们把这个概念和之前关于卷积的讨论联系起来。
关于信号表达的这一事实意味着任何信号是一系列缩放的脉冲函数，它们在时间偏移。但是，对于这些脉冲函数中的每一个，我们可以预测系统的行为，只要我们知道其脉冲响应。
正如LTI系统遵循的规律叠加，我们可以添加所有这些单独的系统响应。通过这个过程得到的结果将是系统输入时的输出。
例如，一个输入信号{- 1,2,1}可以被分割成三个单独的序列:一个是量值为-1，位于时刻0;另一个是量值为2，位于时刻1;最后一个是量值1，位于时刻2。该数据在图6的表I中以表格形式表示。
图6。用卷积来求系统的输出
把这些信息以表格的形式表达出来，我们就可以分别找到每个序列的系统输出。图6中表II的前三行显示了这一点。
最后，我们将每个时刻对应的样本相加，就得到了系统的总体输出(表II的最后一行)，这个结果就是系统接受输入信号{- 1,2,1}时的输出。
基本上，我们可以通过使用卷积有效地找到任何LTI系统的输出，只要我们知道其脉冲响应。虽然上面的例子是离散域信号，但即使对于连续时间信号，该语句也适用于。
概括
本文简要介绍了卷积及其广泛应用的两种场景。本系列文章的第二部分将介绍卷积在其他领域的应用。
