时间常数的计算

学习数学分析电路需要学习和实践。通常,学生通过大量的实践工作示例问题与那些课本提供的检查他们的答案或老师。虽然这是好的,有一个更好的方法。

你会学到更多构建和分析实际电路,让您的测试设备提供“答案”,而不是一本书或另一个人。成功circuit-building练习,遵循这些步骤:

1. 前仔细测量和记录所有组件值电路结构。
2. 画出电路原理图,进行分析。
3. 精心构建这个电路试验板或其他方便的媒介。
4. 检查电路的准确性的建设,每个线每个连接点,并验证这些元素在图上一个接一个。
5. 数学分析电路,解决所有值的电压、电流等。
6. 仔细衡量这些量,来验证你的分析的准确性。
7. 如果有任何实质性的错误(超过百分之几),仔细检查你的电路的建筑图,然后仔细计算值和re-measure。

避免极高和极低电阻的值,以避免测量误差引起的计“加载”。我建议1 kΩ之间的电阻和100 kΩ,除非,当然,电路的目的是为了说明表加载的影响!

一个方法你可以节省时间和减少错误的可能性逐步开始从一个非常简单的电路和添加组件增加其复杂性分析后,而不是为每个实践构建一个全新的电路问题。另一个节省时间的技巧是重用相同的组件在各种不同的电路配置。这种方式,你不需要测量任何组件的价值不止一次。

变量随时间的衰减RC或LR电路遵循这一数学表达式:

在那里,

e =欧拉常数(≈2.718281828)

t =时间,以秒为单位

τ=电路时间常数,在几秒钟内

举个例子,如果我们要评估这个表达式,得出一个值为0.398时,我们会知道问题的变量已经腐烂在指定的时间内从100%降至39.8%。

然而,计算时间的变量的数量达到指定的百分比是更加困难。我们必须操纵方程解出,这是一个指数的一部分。

显示下面的方程可以求解t进行了代数运算,其中x是在0和1之间(包容)代表的比例变量的初始值问题:

注意:这里的“诡计”是如何隔离指数[(−t) /(τ)]。你将不得不使用自然对数函数!

重写这个数学表达式,以便指数项(−x)不再是消极的:

计算器按键序列描述你将不得不通过评估这个表达式给出任何特定值x。

在一个聚会上,你碰巧注意到一位数学家笔记边看着食物表,设置几个披萨。走到她,你问她在做什么。我数学建模的披萨,”她告诉你。之前你有机会问另一个问题,她集记事本放在桌子上,借口自己去厕所。

看记事本,你会看到以下方程:

在那里,

t =时间在几分钟内从披萨的到来。

问题是,你不知道她写方程描述了披萨吃的比例或百分比的披萨剩余的放在桌子上。解释如何确定哪些百分比这个方程式。究竟如何,你能告诉,如果这个方程式的披萨已经吃或吃的披萨还有待吗?

以下两个表达式经常用来计算值(电压和电流)变化的变量钢筋混凝土和LR计时电路:

其中一个表达式描述百分比变化值RC或LR电路已经从一开始的时间。其他表达式描述相同的变量已经离开去前达到其最终值(t =∞)。

问题是,这表情代表数量?这通常是一个点的混乱,因为学生倾向于尝试关联这些表达式死记硬背的数量。表达式的e^{−(t /(τ))}代表一个变量发生了变化,或者它已经离开走多远,直到稳定吗?其他的表达式1−e^{−(t /(τ))}吗?更重要的是,我们怎样才能算出来,所以我们不需要依靠记忆?

图电容器电压(V_C)和电容电流(I_C)随着时间的推移这个电路的开关是关闭的。假设电容器开始于一个完整的卸货状态(0伏特):

然后,选择和修改适当形式的方程(从下面)来描述每一个情节:

以下电路允许电容器快速充电,慢慢地放电:

假设开关的“充电”的立场对于一些可观的时间。然后,有人将切换到“放电”位置让电容器放电。计算电容电压和电容电流的数量在3秒后切换到“放电”的位置。

V_C=

@ t = 3秒

我_C=

@ t = 3秒

此外,显示在这个电路放电电流的方向。

以下电路允许电容器是迅速放电,慢慢地指控:

假设开关的“放电”位置对于一些可观的时间。然后,有人将切换到“充电”的立场让电容器充电。计算数量的电容器电压和电容电流在45毫秒后切换到“充电”的位置移动。

V_C=

@ t = 45女士

我_C=

@ t = 45女士

定性确定所有组件的电压以及电流的所有组件在这个简单RC电路在三个不同时期:(1)在开关关闭之前,(2)在即时开关接触联系,和(3)开关已经关闭了很长一段时间。假设电容完全放电状态开始:

表达你的答案定性:“最大”、“最小”,或者“零”如果你知道情况。

开关关闭前:

V_C=

V_R=

V_开关=

我=

在开关闭合的瞬间:

V_C=

V_R=

V_开关=

我=

开关已经关闭了很长时间后:

V_C=

V_R=

V_开关=

我=

提示:一个图可能是一个有用的工具来确定的答案!

定性确定所有组件的电压以及电流的所有组件简单的LR电路在三个不同时期:(1)在开关关闭之前,(2)在即时开关接触接触,和(3)开关已经关闭了很长一段时间。

表达你的答案定性:“最大”、“最小”,或者“零”如果你知道情况。

开关关闭前:

V_l=

V_R=

V_开关=

我=

在开关闭合的瞬间:

V_l=

V_R=

V_开关=

我=

开关已经关闭了很长时间后:

V_l=

V_R=

V_开关=

我=

提示:一个图可能是一个有用的工具来确定的答案!

终值的计算电流通过电感和开关在左边位置(假设许多时间常数的值的时间已经过去了):

现在,假设开关立即搬到右边位置。电压感应最初会减少多少?

解释为什么这个电压是非常不同的电源电压。这样的电路可能会有什么实际用途?

一个不好的倾向,许多新学生马上把数字方程当面对一个时间常数电路的问题,之前仔细考虑电路。解释为什么遵循下面的步骤是非常明智的之前执行任何数学计算:

步骤1:识别和列出所有已知的数量(“给定的”)。

第二步:画一个电路的原理图,如果没有给你。

步骤3:标签组件在所有已知数量的示意图。

步骤4:素描一个粗略的情节你期望的变量(s)随时间变化的电路。

第五步:标签开始为这些画和最终值变量,只要有可能。

假设一个电容器充电100伏特的电压,然后再连接到一个电阻,因此排放缓慢。计算量剩余电压的电容器终端在以下几点:

1时间常数(τ)后连接电阻:

2时间常数τ(2)连接电阻:

3时间常数τ(3)连接电阻后:

4时间常数τ(4)连接电阻:

5时间常数τ(5)连接电阻:

计算出470μF电容器放电的电压通过一个10 kΩ电阻器9秒钟,如果电容器的初始电压24伏(t = 0)。

同时,表达这种时间(9秒)的多少时间常数运行。

计算当前通过250 mH电感后“充电”通过电阻的串联电阻100Ω6毫秒,由一个12伏的电池。假设电感是完美的,没有内部电阻。

同时,表达这种时间(6毫秒)的多少时间常数运行。

确定电容器的电压在指定的时间(时间t = 0毫秒开关接触密切的确切时刻)。假设电容完全放电状态:开始

时间 VC(伏) 0女士 30岁的女士 60岁的女士 90毫秒 120毫秒 150毫秒

情节电容器电压和电容电流随着时间的推移,这个电路的开关关闭后,至少4次常数”的时间:

确保标签的轴图!

画出电感器电压和电感电流随着时间的推移,这个电路的开关关闭后,至少4次常数”的时间:

确保标签的轴图!

计算的时间量33μF电容器充电从0伏特到20伏,如果由一个24伏电池通过10 kΩ电阻器。

确定需要的时间开关关闭后电容器电压(V_C)达到指定的级别:

VC 时间 0伏 10伏特 20伏 30伏 40伏

跟踪电路电子流动的方向,也标志着所有电压极性。

一个简单的延时继电器电路可能使用一个大电容器与继电器线圈并联连接,暂时提供继电器线圈主电源断开后与权力。在接下来的电路,按下按钮开关声音喇叭,它仍在短暂时间后释放开关:

计算的时间按钮开关后角将继续释放,我们必须知道一些事情关于继电器本身。由于继电器线圈作为电阻负载电容,我们必须知道线圈的电阻在欧姆。我们也必须知道的电压继电器“滴”(即有太少的点电压线圈保持一个足够强大的磁场来控制继电器接触关闭)。

假设电源电压24伏,2200μF电容器,继电器线圈电阻为500Ω,线圈开断电压为6.5伏。计算时间延迟将会持续多久。

设计一个实验来计算电容器的大小根据其响应时间常数电路。设计中包括一个方程,使电容器的值在法拉,基于获得的数据通过运行实验。

一个有用的技术,分析RC时间常数电路是考虑什么最初的和最后电路变量的值(电压和电流)。考虑这四个RC电路:

在每一个电路,确定初始值将电压和电流通过电容器,电阻器(标记)。这些将电压和电流的值在第一时刻的开关状态变化示意图所示。同时,确定最后的值将为相同的变量(在一个足够大的时间已经过去了的变量都是“解决”他们的终极价值)。电容器的初始电压显示在所有情况下这是任意的。

一个有用的技术分析LR是考虑什么时间常数电路最初的和最后电路变量的值(电压和电流)。考虑这四个LR电路:

在每一个电路,确定初始值将电压和电流通过电感和电阻(标记)。这些将电压和电流的值在第一时刻的开关状态变化示意图所示。同时,确定最后的值将为相同的变量(在一个足够大的时间已经过去了的变量都是“解决”他们的终极价值)。

假定所有电感是理想,拥有没有线圈电阻(R_线圈= 0Ω)。

我喜欢用公式计算电压和电流的值RC或LR电路有两种形式,一为电压和电流:

“0”下标代表条件时间= 0 (V₀或者我₀分别),表示该变量的“初始”价值。“f”下标代表“最终”或“终极”值,电压或电流将达到如果任其发展下去。很明显,一个人必须知道如何确定“初始”和“最终”值为了使用这些公式,但是一旦你将能够计算任何电压和任何目前在任何时间在一个钢筋混凝土或LR电路。

学生不那么显而易见的是每一个公式是如何工作的。具体来说,每个部分代表,实际上呢?这是你的任务:描述方程的每一项是什么意思你自己的话。我将单独列出“电压”公式来定义:

确定通过电容器的电压开关后三秒内从上层位置搬到较低的位置,如果它一直留在上面的位置在很长一段时间:

计算电压开关接触的时刻他们开放,和15毫秒后打开:

变量的衰变(电压或电流)在一个时间常数电路(RC或LR)遵循这一数学表达式:

在那里,

e =欧拉常数(≈2.718281828)

t =时间,以秒为单位

τ=电路时间常数,在几秒钟内

计算表达式的值随着t增加,给定一个电路时间常数(τ)1秒。这个值表示为一个百分比:

t = 1秒

t = 2秒

t = 3秒

t = 4秒

t = 5秒

t = 6秒

t = 7秒

t = 8秒

t = 9秒

t = 10秒

根据你的计算,你如何描述表达式的值的变化随着时间的推移增加?

变量的衰变(电压或电流)在一个时间常数电路(RC或LR)遵循这一数学表达式:

在那里,

e =欧拉常数(≈2.718281828)

t =时间,以秒为单位

τ=电路时间常数,在几秒钟内

计算表达式的值随着t增加,给定一个电路时间常数(τ)2秒。这个值表示为一个百分比:

t = 1秒

t = 2秒

t = 3秒

t = 4秒

t = 5秒

t = 6秒

t = 7秒

t = 8秒

t = 9秒

t = 10秒

同时,表达任何的百分比值增加变量(电压或电流)在一个钢筋混凝土或LR充电电路,同样的条件(同样的时间,同样的时间常数)。

写一个数学表达式计算的百分比值增加变量(电压或电流)在一个钢筋混凝土或LR电路时间常数。

提示:这个公式计算的百分比减少变量在一个RC或LC电路时间常数如下:

在那里,

e =欧拉常数(≈2.718281828)

t =时间,以秒为单位

τ=电路时间常数,在几秒钟内

这里,表达式的值从1开始时(100%)= 0 0(0%)和方法随着时间的方法∞。我要求你得到的是一个等式,正好相反:从一个值0开始时间= 0和方法∞值随着时间的方法。

计算变量反应电路使用时间常数公式可以耗费时间,由于所需的所有按键一个计算器。更糟糕的是,当一个计算器不可用!你应该准备估计电路值没有计算器做数学的好处,不过,因为计算器可能并不总是可用,当你需要一个。

请注意,欧拉常数(e)约等于3。这不是一个近似,但足够近“粗糙”估计。如果我们使用一个值三个代替e的真正价值2.718281828…,我们可以极大地简化“衰变”时间常数公式:

假设一个电容放电电路开始完全充电10伏的电压。在下面时间计算电容器的电压放电,假设τ= 1秒:

t = 0秒;E_C=

t = 1秒;E_C=

t = 2秒;E_C=

t = 3秒;E_C=

t = 4秒;E_C=

t = 5秒;E_C=

不使用一个计算器,你至少应该能够计算电压值分数如果不是小数!

计算变量反应电路使用时间常数公式可以耗费时间,由于所需的所有按键一个计算器。更糟糕的是,当一个计算器不可用!你应该准备估计电路值没有计算器做数学的好处,不过,因为计算器可能并不总是可用,当你需要一个。

请注意,欧拉常数(e)约等于3。这不是一个近似,但足够近“粗糙”估计。如果我们使用一个值三个代替e的真正价值2.718281828…,我们可以极大地简化”增加“时间常数公式:

假设一个电容充电电路开始完全放电(0伏特),和费用的最终价值10伏特。在下面时间计算电容器的电压放电,假设τ= 1秒:

t = 0秒;E_C=

t = 1秒;E_C=

t = 2秒;E_C=

t = 3秒;E_C=

t = 4秒;E_C=

t = 5秒;E_C=

不使用一个计算器,你至少应该能够计算电压值分数如果不是小数!

确定的时间常数(τ)7.5秒等于在被动电路如下:

RC电路;R = 10 kΩ,C = 220μF;7.5秒=

RC电路;R = 33 kΩ,C = 470μF;7.5秒=

RC电路;R = 1.5 kΩ,C = 100μF;7.5秒=

RC电路;R = 790Ω,C = 9240 nF;7.5秒=

RC电路;R = 100 kΩ,C = 33 pF;7.5秒=

LR电路;R = 100ΩL = 50 mH;7.5秒=

LR电路;R = 45Ω,L H = 2.2;7.5秒=

LR电路;R = 1 kΩL = 725 mH;7.5秒=

LR电路;R = 4.7 kΩL = 325 mH;7.5秒=

LR电路;R = 6.2ΩL H = 25;7.5秒=

在一个聚会上,你碰巧注意到一位数学家笔记边看着食物表,设置几个披萨。走到她,你问她在做什么。我数学建模的披萨,”她告诉你。之前你有机会问另一个问题,她集记事本放在桌子上,借口自己去厕所。

看记事本,你会看到以下方程:

在那里,

t =时间在几分钟内从披萨的到来。

问题是,你不知道她写方程描述了披萨吃的比例或百分比的披萨剩余的放在桌子上。解释如何确定哪些百分比这个方程式。究竟如何,你能告诉,如果这个方程式的披萨已经吃或吃的披萨还有待吗?

以下表达式通常是用来计算改变变量的值(电压和电流)在RC和LR计时电路:

如果我们评估这个表达式的时间t = 0时,我们发现它等于1 (100%)。如果我们评估这个表达式在越来越大的值(t→∞),我们发现它趋于0时(0%)。

基于这个简单的分析,你认为表达e^{−(t /(τ))}描述了一个变量的百分比已经从它的初始值在计时电路,或百分比左改变才能进入最终的价值?帧这个问题在图形上。

这百分比表达e吗^{−(t /(τ))}代表在每种情况下?解释你的答案。

确定电容器的电压和电容电流在指定的时间(时间t = 0毫秒开关接触密切的确切时刻)。假设电容完全放电状态:开始

时间 VC(伏) 我C(马) 0女士 30岁的女士 60岁的女士 90毫秒 120毫秒 150毫秒

确定电感电压和电感电流在指定的时间(时间t = 0毫秒的确切时刻开关接触密切的):

时间 Vl(伏) 我l(马) 0μs 10μs 20μs 30μs 40μs 50μs

确定电感电压和电感电流在指定的时间(时间t = 0毫秒的确切时刻开关接触密切的):

时间 Vl(伏) 我l(马) 0 ns 250纳秒 500纳秒 750纳秒 1.00μs 1.25μs

完成此表为感应电压和电流的值。考虑时间= 0的精确时刻开关关闭:

时间(μs) Vl(V) 我l(马) 0 50 One hundred. 150年 200年 250年 300年 350年 400年

计算电压2.5 H电感后“充电”通过一个串联电阻与50Ω电阻为75毫秒,由一个6伏电池。假设14Ω电感器的内部阻力。

同时,表达这种时间(75毫秒)的多少时间常数运行。

提示:它会帮助你分析画一个示意图显示了该电路的电感器的电感和14欧姆的电阻作为两个单独的(理想)组件。这是一个非常常见的分析技术在电气工程:把一个组件的寄生特性作为一个单独的组件在同一电路。

计算的时间量10μF电容器放电从18伏特到7伏如果最终(最终)完全放电时电压将0伏,它通过22 kΩ放电电阻。

确定需要的时间开关关闭后电容器电压(V_C)达到指定的级别:

VC 时间 0伏 5伏特 -10伏 -15伏 -19伏

跟踪电路中电流的方向,而电容器充电,并确保表示是否使用电子或常规流符号。

注意:电压被指定为负的数量,因为他们是负对地面(积极)在这个特定的电路。

确定的时间所需的电容电压(V_C)将降至指定的水平切换后扔到“放电”的位置,如果第一次被指控完全电池电压:

VC 时间 10伏特 8伏特 6伏 4伏 2伏

跟踪电路电子流动的方向,也标志着所有电压极性。

潜艇声纳系统使用一个“银行”的并联电容器储存的电能需要发送简短的,强大的脉冲电流传感器(各种各样的“扬声器”)。这产生强大的声波在水中,然后用于回声定位。电容器银行减轻了发电机和配电线路上潜艇从额定为巨大的浪涌电流。发电机trickle-charges电容器银行,然后电容器银行迅速将其存储的能量传感器需要时:

你可能会想象,这样一个电容器银行也可以是致命的,涉及到的电压很高,冲击电流能力是巨大的。即使直流发电机断开连接(使用“切换”隔离开关示意图所示),电容器可能致命的收费很多天。

帮助降低安全风险的技术人员工作在这个系统上,一个“放电”开关连接并联电容器银行自动放电电流提供路径时发电机断开开关打开:

假设电容器银行由40 1500μF并联电容器连接(我只知道示意图显示了三个,但是…),和放电电阻是10 kΩ大小。计算的时间需要电容器银行放电到10%的原始电压和放电时间的数量1%的原始电压一旦断开开关打开和放电开关关闭。

的“555”集成电路模型是一个非常受欢迎的和有用的“芯片”用于定时电路。这个电路的定时功能的基础是一个电阻电容(RC)网络:

在这个配置中,“555”芯片作为振荡器:“高”之间来回切换(全电压)和“低”(无电压)输出状态。其中一个州的时间设定的充电电容器的行动,通过电阻(R₁和R₂在系列)。其他州的时间设定的电容器放电通过一个电阻器(R₂):

显然,必须充电时间常数τ_负责= (R₁R₂)C,而放电时间常数τ_放电= R₂c在每个州,电容器充电或放电之间的方式开始和最终值的50%(通过555芯片如何操作),所以我们知道表达e^{[(−t) /(τ)]}= 0.5,涨幅50%。

开发两个方程预测时间“充电”和“放电”的555定时器电路,所以,任何人都设计一个这样的电路为特定时间延迟会知道使用什么样的电阻和电容值。

脚注:

对于那些必须知道为什么,555定时器的配置是为了使电容器电压之间的循环¹/₃的电源电压²/₃的电源电压。所以,当电容器充电¹/₃V_CC(最终)值的完整的电源电压(V_CC),有了这个周期中断²/₃V_CC555芯片构成的中间点,收费²/₃之间的一半¹/₃和1。放电时,电容器起价²/₃V_CC和中断¹/₃V_CC又构成了50%的方式从那里开始(最终)领导
。

计算电压的变化率([dv / dt])电容器在及时准确即时开关移动到“充电”的位置。假设在此之前运动“放电”的开关已经离开职位一段时间:

计算电流的变化率([di / dt])电感在及时准确即时开关移动到“充电”的位置。

微分方程可用于RC电路的充电行为模型。比如,这个简单RC电路:

我们可以开发一个基于回路方程基尔霍夫电压定律,知道电源的电压是恒定的(30伏特),通过电容器的电压降和电阻是V_C=^问/_C和V_R= IR,分别为:

把这变成一个真正的微分方程,我们必须表达的一个变量的导数。在这种情况下,它是有意义的,我定义为对时间的问:

显示特定的解微分方程,假设一个初始条件的问在t = 0 = 0,如下:

同时,显示这个解决方案在一个表单,它解决了电容器电压(V_C)而不是电容器充电(Q)。

微分方程可用于模型的充电行为L / R电路。比如,这个简单的L / R电路:

我们可以开发一个回路方程基于基尔霍夫电压定律,知道电源的电压是恒定的(40伏),和电感和电阻的电压降是V_l= L (dI / dt)和V_R= IR,分别为:

显示特定的解微分方程,假设一个初始条件的我在t = 0 = 0,如下:

假设这个电路的开关切换(交换位置)每隔5秒,开始在“上”(电荷)的位置在时间t = 0,而电容器充分放电状态开始。确定在每个开关切换电容器电压:

时间 开关动作 VC(伏) 0 放电→电荷 0伏 5 s 充电→放电 十年代 放电→电荷 15秒 充电→放电 20年代 放电→电荷 25岁的年代 充电→放电

这种被动的积分器电路是由方波电压源(0伏特和5伏特之间的振荡频率的2千赫)。确定输出电压(v_出)的积分器在每一瞬间的方波转换(从0到5伏,或从5 0伏特),假设电容完全放电状态开始在第一个转变(从0伏特到5伏特):

过渡 v出 # 1(0→5伏特) 0伏 # 2(5→0伏特) # 3(0→5伏特) # 4(5→0伏特) # 5(0→5伏特) # 6(5→0伏特) # 7(0→5伏特) # 8(5→0伏特)

470年μF电容器始于270伏特的带电状态,并通过100 kΩ电阻放电。要多长时间在电容器的电压将下降到一个相对安全的价值(30伏或更少)?