布尔代数

学习分析数字电路需要大量的研究和实践。通常,学生通过大量的实践工作示例问题与那些课本提供的检查他们的答案或老师。虽然这是好的,有一个更好的方法。

你会学到更多构建和分析实际电路,让您的测试设备提供“答案”,而不是一本书或另一个人。成功circuit-building练习,遵循这些步骤:

1. 画出原理图数字电路的分析。
2. 精心构建这个电路试验板或其他方便的媒介。
3. 检查电路的准确性的建设,每个线每个连接点,并验证这些元素在图上一个接一个。
4. 分析电路,确定所有输出逻辑状态给定的输入条件。
5. 仔细衡量这些逻辑状态,来验证你的分析的准确性。
6. 如果有任何错误,仔细检查你的电路的建筑图,然后仔细re-analyze电路re-measure。

总是确保电源电压水平在规范您计划使用的逻辑电路。如果TTL,电源必须是一个5伏监管供给,适应值尽可能接近5.0伏直流。

一个方法你可以节省时间和减少错误的可能性逐步开始从一个非常简单的电路和添加组件增加其复杂性分析后,而不是为每个实践构建一个全新的电路问题。另一个节省时间的技巧是重用相同的组件在各种不同的电路配置。这种方式,你不需要测量任何组件的价值不止一次。

识别每一个逻辑门的名字,并完成各自的真值表:

识别每一个继电器逻辑功能的名字(或,也不等等)并完成各自的真值表:

以下的数学表达式完整的“表”布尔数系:

$ $ $ $ 0×0 = 0

$ $ $ $ 0 \ \ 1 x = 0

$ $ $ $ 1 \ \ 0 x = 0

$ $ x 1 \ \ 1 = 1 $ $

现在,似乎没有什么不寻常的起初对这个表的表情,因为他们似乎乘法一样理解在我们的正常,日常系统的数字。然而,不同寻常的是,这四个语句组成的整个逻辑乘法规则集!

解释如何,这就是没有声明说1×2 = 2或2×3 = 6。哪里的所有其他数字除了0和1 ?

布尔代数是一种奇怪的数学。例如,布尔的完整的规则集添加如下:

$ $ $ $ 0 + 0 = 0

$ $ $ $ 0 + 1 = 1

$ $ $ $ 1 + 0 = 1

$ $ $ $ 1 + 1 = 1

假设一个学生看见了第一次,很困惑。你会怎么对他或她说作为一个解释吗?世界上如何1 + 1 = 1,而不是2 ?为什么没有更多的布尔规则添加吗?哪里的规则1 + 2或2 + 2吗?

测量的规则布尔,0和1的值看起来像一个很常见的逻辑门的真值表。这是哪种类型的门,这表明布尔加法和逻辑电路之间的关系呢?

$ $ $ $ 0 + 0 = 0
$ $ $ $ 0 + 1 = 1
$ $ $ $ 1 + 0 = 1
$ $ $ $ 1 + 1 = 1

测量的规则逻辑乘法,0和1的值似乎像一个很常见的逻辑门的真值表。这是哪种类型的门,这表明布尔乘法和逻辑电路之间的关系呢?

$ $ $ $ 0 x \ \ 0 = 0
$ $ $ $ 0 \ \ 1 x = 0
$ $ $ $ 1 \ \ 0 x = 0
$ $ x 1 \ \ 1 = 1 $ $

是什么补充一个布尔的号码吗?我们如何代表一个布尔变量的补充,互补逻辑电路函数执行什么功能?

在布尔代数有三个基本操作:加法,乘法和反演。每个这些操作都有一个相同的逻辑门的功能和一个等价的继电器电路配置。画出相应的门和梯形逻辑图:

写这些逻辑门的布尔表达式,显示输出(Q)代数与输入(A和B):

写每一个布尔表达式的继电器逻辑电路、显示输出(Q)代数与输入(A和B):

以下逻辑门电路转换成一个布尔表达式,编写布尔旁边的子表达式中的每个门电路输出图:

以下逻辑门电路转换成一个布尔表达式,编写布尔旁边的子表达式中的每个门电路输出图:

以下逻辑门电路转换成一个布尔表达式,编写布尔旁边的子表达式中的每个门电路输出图:

下面的继电器逻辑电路转换成一个布尔表达式,编写逻辑相邻子表达式继电器线圈和灯图:

下面的继电器逻辑电路转换成一个布尔表达式,编写逻辑相邻子表达式继电器线圈和灯图:

下面的继电器逻辑电路转换成一个布尔表达式,编写逻辑相邻子表达式继电器线圈和灯图:

一个汽车工程师想设计一个逻辑电路,禁止汽车的引擎开始,除非司机按下离合器踏板,将点火开关到“开始”位置。这个功能的目的是防止汽车前进时开始如果不小心落在齿轮传动。

假设我们指定点火开关的状态与布尔变量S“启动”位置(1 =开始;0 =运行或关闭),离合器踏板位置与布尔变量C(1 =离合器踏板抑郁;0 =正常离合器踏板,unpressed位置)。写一个布尔表达式的起动机电磁状态,考虑到启动开关(S)和离合器(C)的状态。然后,画一个逻辑门电路来实现这个布尔函数。

一个工程师给你一张纸用下面的布尔表达式,并告诉您构建一个门电路来执行这个函数:

$ $ \眉题{B} + \眉题{C} (A + B) $ $

这个函数画一个逻辑门电路。

一个关键的电子系统接收直流电源从三个电源,每一个通过一个二极管,所以如果一个电源发展内部短路,它不会导致他人超载:

这个系统的唯一的问题是我们没有麻烦的迹象,如果只是一个或两个电源做失败。由于二极管系统路线权力从任何可用的供应(ies)关键系统,系统认为没有中断的权力如果一个甚至两个电源停止输出电压。就好了如果我们有一些提醒报警系统安装的技术人员与任何电力供应的问题,之前的关键系统是完全失去权力的危险。

工程师决定继电器可以安装在每个电源的输出,在二极管。从这些继电器接触可以连接到某种形式的报警装置(闪光,贝尔等)提醒维修人员的问题:

第1部分:画一个梯形图的继电器接触驱动一个警告灯,灯激发若是以这样一种方式任何一个或更多的电源输出电压。为电路编写相应的布尔表达式,用字母A, B, C代表的状态继电器线圈内,CR2和CR3分别。

第2部分:第1部分的解决方案,但不幸的是它生成“滋扰警报”当技术员的任何供应进行日常维护。的工程师决定two-out-of-three-failed报警系统足以警告的麻烦,同时允许对日常维护不创建不必要的警报。画一个梯形图的继电器接触驱动一个警告灯,这种灯激发如果任意两个或多个电源输出电压。这是\布尔表达式(\眉题{一}\ \眉题{B} + \眉题{B} \ \眉题{C} + \眉题{一}\ \眉题{C} \)。

第3部分:管理在这个设施改变了主意关于two-out-of-three-failed报警系统的安全性。他们想要报警被激活任何一个的电力供应失败。然而,他们也意识到滋扰警报期间生成日常维护是不可接受的。要求维修人员想出了一个解决方案,一个技术人员建议插入一个“维护”开关,将禁用报警维修期间,允许任何电源是关闭没有创建一个讨厌的警报。修改第1部分的报警电路的解决方案,包括这样一个开关,并相应地修改为新电路布尔表达式(叫维护开关M)。

第4部分:一个维护周期期间,技术人员不小心离开了报警旁路开关(M)驱动后完成。残疾人与电源故障报警系统操作数周。当管理发现了这个,他们愤怒。他们的下一个建议是有旁路开关改变报警的条件,这样驱动这“M”开关将系统从one-out-of-three-failed报警two-out-of-three-failed报警。这样,任何一个电源可以为日常维护的服务,然而,报警将不会完全取消激活。该系统将仍然报警如果两个电源发生故障。这个相当复杂函数的简化布尔表达式\(\眉题{一}\ \眉题{B} + \眉题C{} \ \眉题{M} +(\眉题{一}\ + \眉题{B}) +(\眉题C{} \ + \眉题{M}) \)。画一个梯形图的报警电路基于这个表达式。

实现以下布尔表达式的形式数字逻辑电路:

$ $ \眉题{(\眉题{AB} + C)} $ $

形式的电路之间通过必要的连接销这些集成电路无焊料的试验板:

完成这两个布尔表达式的真值表:

$ $ =输出\眉题$ $ {}+ B

一个 B 输出 0 0 0 1 1 0 1 1

$ $ = +输出\眉题{A} $ $

一个 B 输出 0 0 0 1 1 0 1 1

完成这两个布尔表达式的真值表:
$ $ =输出\眉题{一}+ \眉题{B} + C $ $

一个 B C 输出 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

$ $输出= (B + AC + \眉题{一})$ $

一个 B C 输出 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1

像实数代数、布尔代数定律减刑,协会,分布。这些法律允许我们建立不同的逻辑电路,执行相同的逻辑功能。

对于每一个所示的等效电路对,旁边写相应的布尔定律:

注意:三个短,平行线代表相当于数学”。

像实数代数一样,布尔代数是受一定的规则可以应用于简化的任务(减少)表达式。通过代数方法减少布尔表达式,它允许我们使用更少的组件构建等价的逻辑电路。

对于每一个所示的等效电路对,编写相应的布尔规则旁边:

注意:三个短,平行线代表“相当于”数学。

这里有六个布尔代数规则(当然,这并不是唯一的规则)。

$ $ + \眉题{一}= 1 $ $

$ $ + $ $ =

$ $ + 1 = 1美元美元

$ $ $ $ AA =

$ $ $ $ + AB =

$ $ + \眉题{一}= A + $ $

确定哪些规则(或规则)被用于以下布尔减少:

$ $ \眉题{DF} + \眉题{DFC} = \眉题{DF} $ $

$ $ $ $ 1 + G = 1

$ $ $ $ B + AB = B

$ $ \眉题{菲}+ \眉题{菲}= \眉题{菲}$ $

$ $ XYZ + \眉题{XYZ} = 1 $ $

$ $《GQ》+ Q Q = $ $

$ $ \眉题{H} \ \眉题{H} = \眉题{H} $ $

$ $ \眉题{CD} + \眉题{CD} = \眉题{CD} $ $

$ $英孚教育(EF) = EF $ $

$ $ CD + \眉题{C} = \眉题{C} + D $ $

$ $ LNM +毫升= LM $ $

$ $ \眉题}{G F \眉题{C} + F \眉题C{} \ \眉题{G} = F \眉题C{} \ \眉题{G} $ $

$ $ \眉题{M} + 1 = 1 $ $

$ $ \眉题公元前公元前{}+ = 1 $ $

ABC +出租车= BCA $ $ $ $

$ $ S + STV \眉题{Q} = S $ $

$ $ \眉题{DE} (R + 1) = \眉题{DE} $ $

$ $ \眉题{RS} \ \眉题{SR} = \眉题{RS} $ $

ABC \眉题$ $ {D} + D = D + ABC $ $

$ $交流\眉题{B} + CAD \眉题{B} = \眉题C $ $ {B}

$ $ + T + \眉题{W} + \眉题{一}+ $ $ X = 1

$ $ X \眉题{YZ} + \眉题{X} = \眉题{X} + \眉题{YZ} $ $

$ $ \眉题{金融}\ \眉题{HGF} = \眉题{FHG} $ $

$ $ C \眉题{AB} + AB = AB + C $ $

这里有八个布尔代数规则(当然,这并不是唯一的规则)。

$ $ + \眉题{一}= 1 $ $

$ $ + $ $ =

$ $ + 1 = 1美元美元

$ $ $ $ AA =

$ $ \眉题$ $ {}= 0

$ $ A (B + + C) = AB + AC $ $

$ $ $ $ + AB =

$ $ + \眉题{一}= A + $ $

确定哪些规则是用于每一步的布尔简化如下:

$ $ AB + B (B + \眉题{C}) + \眉题C $ $ {B}

$ $ AB + BB + B \眉题{C} + \眉题C $ $ {B}

$ $ AB + B + B \眉题{C} + \眉题C $ $ {B}

$ $ AB + B + B \眉题{C} $ $

$ $ $ $ AB + B + C

$ $ $ $ B + C

一个学生做了一个错误的地方的过程中简化布尔表达式如下:

$ $ AB + (B + C) $ $
$ $ $ $ AB + AB + C
$ $ $ $ AB + C

确定这个错误了,什么步骤的正确顺序应该是简化原始表达式。

保理是一个强大的简化技术在布尔代数中,就像在实数运算。展示如何使用保理来帮助简化布尔表达式如下:

$ $ $ $ C + CD

$ $ \眉题{B} C + A \眉题{B} \ \眉题{C} $ $

$ $ XY \眉题{Z} + XYZ + XYW $ $

$ $ \眉题{D} EF + AB + \眉题}{D E + 0 + ABC $ $

这里是九的布尔代数规则(当然,这并不是唯一的规则)。

$ $ + \眉题{一}= 1 $ $

$ $ + $ $ =

$ $ + 1 = 1美元美元

$ $ $ $ AA =

$ $ $ $ (1)=

$ $ \眉题$ $ {}= 0

$ $ (B + C) = AB + AC $ $

$ $ $ $ + AB =

$ $ \眉题{一}= A + $ $

确定哪些规则是用于每一步的布尔简化如下:

$ $ \眉题{C} + F (A + \眉题{B}) + C $ $

$ $ \眉题{C} F + AF + \眉题F + C $ $ {B}

$ $ C + F + AF + \眉题F $ $ {B}

$ $ C + F(1 + + \眉题{B}) $ $

$ $ C + F (1) $ $

F $ $ $ $ C +

两个非常重要的规则在布尔代数简化如下:

规则1:\ \ (AB + =)

规则2:\ (A + \眉题{A} = A + B \)

不仅是这两个规则是类似的,但是许多学生发现他们很难成功地应用于一个布尔表达式的情况下使用不同的变量(字母),如:

圣+ $ $ \眉题{R} \眉题{R} $ $

这里,第一条规则是适用\ ((+ AB =) \),而不是第二个规则\((+ \眉题{B} = A + B) \),给出一个简化:

$ $ \眉题{R} $ $

尝试这两个规则适用于下面的布尔表达式,确定哪条规则直接适用,或者如果没有规则直接适用:

$ $ $ $ FGH + G

$ $ \眉题{C} + CF $ $

$ $ \眉题{AB} C + $ $

$ $ RS + \眉题{R} $ $

$ $ \眉题{AB} + ABC $ $

$ $ \眉题{AB} C + C $ $

V $ $ \眉题{R} \眉题{W} + \眉题{R} $ $

$ $ \眉题{X} \ \眉题{Y} Z + \眉题{XY} $ $

$ $ \眉题{J} \ \眉题{K} LM + \眉题K $ $ {J}

$ $ \眉题{E} HF + F \眉题{E} $ $

使用布尔代数简化以下表达式,然后画一个逻辑门电路的简化表达式:

$ $ A (B + AB) + AC $ $

使用布尔代数简化以下表达式,然后画一个逻辑门电路的简化表达式:

$ $ (A + B)(\眉题{一}+ \眉题{B}) $ $

使用布尔代数简化以下表达式,然后画一个逻辑门电路的简化表达式:

$ $ \眉题{一}\ \眉题{B} \ \眉题{C} + \眉题{一}\ \眉题{B} C + \ \眉题{B} \ \眉题{C} + \眉题C $ $ {B}

利用布尔代数化简下列逻辑门电路:

利用布尔代数化简下列逻辑门电路:

利用布尔代数化简下列逻辑门电路:

使用布尔代数简化继电器(梯子逻辑)电路如下:

使用布尔代数简化继电器(梯子逻辑)电路如下:

使用布尔代数简化继电器(梯子逻辑)电路如下:

使用布尔代数简化继电器(梯子逻辑)电路如下:

盖茨成套真值表如下,也写每个门的布尔表达式:

结果应该明显一旦真值表都是完整的。有一般原则在起作用吗?你认为我们会和负面的或者和NAND盖茨获得类似的结果吗?解释一下。

通常,我们发现扩展互补“酒吧”在布尔表达式。显示了一个简单的例子,一个长杆延伸的布尔表达式\ (A + B \):

$ $ \眉题{A + B} $ $

在这个特殊的情况下,该表达式代表一个或非门的功能。多次操作的布尔表达式,它是好的能够知道如何消除这样的酒吧。我们不能摆脱酒吧,虽然。有特定的规律可循”打破“长酒吧成更小的酒吧在布尔表达式。

其他类型的逻辑门具有相同的功能(此句真值表)或非门,对应的布尔表达式是什么?这个问题的答案将展示什么规则(s)时,我们需要遵循“打破”一条长长的互补的布尔表达式。

我们可以使用的另一个示例学习如何“酒吧”在布尔代数与非门的:

$ $ \眉题{AB} $ $

其他类型的逻辑门具有相同的功能(此句真值表)作为一个与非门,对应的布尔表达式是什么?这个问题的答案将同样证明规则(s)时,我们需要遵循“打破”互补酒吧在一个布尔表达式。

是什么dm定理里吗?

使用dm定理里以及其他任何适用的布尔代数规则,简化以下表达式所以没有更多的互补酒吧扩展到多个变量:

$ $ \眉题{\眉题{AB} + \眉题{AC}} $ $

使用dm定理里以及其他任何适用的布尔代数规则,简化以下表达式所以没有更多的互补酒吧扩展到多个变量:

$ $ \眉题{\眉题{XY \眉题{Z}} Y} $ $

使用dm定理里以及其他任何适用的布尔代数规则,简化以下表达式所以没有更多的互补酒吧扩展到多个变量:

$ $ \眉题{\眉题{J + K} JL} $ $

利用布尔代数化简下列逻辑门电路:

写这个继电器逻辑电路的布尔表达式,然后减少表达最简单的形式使用任何适用的布尔定律和定理。最后,画出一个新的继电器电路基于简化布尔表达式执行相同的逻辑功能。

写的布尔表达式TTL逻辑门电路,然后减少表达最简单的形式使用任何适用的布尔定律和定理。最后,画出一个新的门线路图简化布尔表达式的基础上,执行相同的逻辑功能。

一个学生做了一个错误的地方的过程中简化布尔表达式\(\眉题{\眉题{X} Y + Z} \)。确定错误的是:

$ $ \眉题{\眉题{X} Y + Z} $ $

$ $ \眉题{\眉题{X} Y} \眉题{Z} $ $

$ $ \眉题{\眉题{X}} + \眉题{Y} \ \眉题{Z} $ $

$ $ X + \眉题{Y} \ \眉题{Z} $ $

写的布尔表达式TTL逻辑门电路,然后减少表达最简单的形式使用任何适用的布尔定律和定理。最后,画一个新门线路图的基础上简化布尔表达式执行相同的逻辑功能。

假设您需要一个逆变器门逻辑电路,但是没有找到合适的工具。然而,你有备用(未使用的)与非门的集成电路。展示如何连接与非门函数作为一个逆变器。

使用布尔代数证明您的解决方案是有效的。

假设您需要一个逆变器门逻辑电路,但是没有找到合适的工具。然而,你有备用(未使用)或非门在集成电路之一。展示如何连接一个或非门函数作为逆变器。

使用布尔代数证明您的解决方案是有效的。

逻辑门之间的等价性和负面的或者盖茨是容易验证了考试这两个盖茨各自的真值表,通常是一个起点学习dm定理里:

一个鲜为人知的事实是与非之间的等价性和负面的或者盖茨可能转化为表达两个其他类型的盖茨之间的等价性,如图所示:

另一个例子所示:

解释第一个等价(NAND和负面或门)转化为后两个相等关系,无论是门符号和各自的布尔表达式。换句话说,解释如何我们可以推出最后两个例子,第一个例子操作。

假设我们希望有一些逻辑与门的目的,但没有任何和盖茨。相反,我们只有和盖茨在收集我们的部分。画一个图,多和盖茨都连接在一起,形成一个和门。

NAND盖茨也都有有趣的属性普遍性。也就是说,它可以创建任何逻辑函数,使用除了多个盖茨的类型。这样做的关键是dm定理里,因为它显示了我们如何正确应用反演能够两个基本逻辑门类型之间的转换(从,或,反之亦然)。

使用这一原则,将下面的门线路图转换成一个建造专门的NAND盖茨(请不要简化布尔)。然后,用一样的东西,但是也不是盖茨:

一个异门有以下布尔表达式:

$ $ \眉题{B} + \眉题{A} $ $

画出原理图门电路展示这个布尔函数,构造完全从逻辑门。

汽车制造商需要一个逻辑电路执行特定任务的新款汽车。这些汽车将配备一个“大灯留在”报警声音满足这两个条件:任何时候打开前灯和点火开关。画出原理图的逻辑门实现这个报警的电路,建立完全的逻辑门。

画一个示意图只使用两个输入逻辑门电路和盖茨,模仿这个继电器电路的操作:

这里显示是火灾报警系统的梯形逻辑图,在激活的报警开关打开(闭合)开关触点和声音报警:

写这个继电器电路的布尔表达式,然后简化表达式使用dm定理里画一个新的继电器电路实现简化表达式。

的分配定律在布尔代数是相同的分布在“正常”的代数定律:

$ $ (B + C) = AB + AC \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \定律分布应用$ $

而分布的过程并不难理解,相反的分布(称为保理)似乎是一个更困难的过程对于许多学生掌握:

$ $ AB + AC = A (B + C) \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \保理\每个\ \中\ \ $ $

调查下面的例子的分解,然后描述了这个过程。你寻找什么模式(s)在因素一个布尔表达式?

$ $ CD +广告+ BD = D (C + A + B) $ $

$ $ X \眉题{Y} \ \眉题{Z} + \眉题{X} \ \眉题{Y} Z = \眉题{Y} (X \眉题{Z} + \眉题{X} Z) $ $

$ $ J + JK = (1 + K) $ $

$ $ AB + ABCD + BCD + B = B (A + ACD + CD + 1) $ $

化简逻辑门电路,只不过它使用逻辑门实现一定的逻辑功能:

化简逻辑门电路,只不过它使用或非门实现一定的逻辑功能:

Sum-of-Products (SOP)表达式可以实现通过组合和或门,因此:

使用dm定理证明里这个与非门电路执行相同的功能:

写这个逻辑门电路的布尔表达式,然后减少表达最简单的形式使用任何适用的布尔定律和定理。最后,画一个新门线路图的基础上简化布尔表达式执行相同的逻辑功能。

写这个逻辑门电路的布尔表达式,然后减少表达最简单的形式使用任何适用的布尔定律和定理。最后,画一个新门线路图的基础上简化布尔表达式执行相同的逻辑功能。