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傅里叶变换是什么?

2020年7月30日通过罗伯特Keim

本文提供了一个数学的重要信息技术起着绝对重要的作用在系统设计和信号处理。

法国数学家约瑟夫傅里叶的名字命名,傅里叶变换是一个允许我们确定的数学过程频内容的一个函数。电气工程师,傅里叶变换通常应用于时间的函数,我们称之为信号。

阴谋的电压或电流和时间,我们会看到一个示波器显示,直观的表示信号的行为。然而,这并不是唯一有用的表示。

在许多情况下,示例中,设计中射频系统我们主要是在信号的周期性行为感兴趣。更具体地说,我们有兴趣了解对一个信号正弦周期性,因为正弦曲线频率“纯”独特的数学表达式。

揭示了一个傅里叶变换的元素周期性信号分解为它的组成正弦信号频率的大小和阶段和识别这些成分的频率。

“分解”这个词在这里是至关重要的。傅里叶变换教会我们思考一个时域信号的波形组成的潜在的正弦波形与各种大小和阶段。

方波,例如,可以分解为一个无穷级数的正弦信号的振幅逐渐减小,频率不断增加。确切的系列,AC-coupled方波的周期T和振幅,可以编写如下:

\ [f{广场}(t) = \压裂{4}{\π}\ sum_在{{k \ \ {1, 3, 5,……\}}}\压裂{1}{k} \罪\离开(\压裂{2 \πkt} {T} \) \]

我们可以把它转换成下面的形式,这是一个直观的点:

\ [f{广场}(t) = \压裂{4}{\π}\离开(\罪(2 \π英尺)+ \压裂{1}{3}\罪(6 \π英尺)+ \压裂{1}{5}\罪(10 \π英尺)+ \…\)\]

f是频率,在赫兹,方波。

下面的图显示了原始的方波,蓝色,前八无穷级数的正弦曲线。

看这个图之后,您可能仍然有点怀疑这些正弦曲线可以组合成一个方波。不过,接下来的情节将说服你。它显示了原始方波和产生的波形添加上面显示的所有成分血窦。

当我们计算一个傅里叶变换,我们开始与时间的函数f (t),并通过数学分解,我们生产频率的函数f(ω)。(我们通常使用角频率在傅里叶变换的理论讨论。)

评估F(ω)在某一特定的角频率,说100 rad / s,给我们的大小和相位的正弦分量F (t)的频率为100 rad / s。如果f (t)没有100 rad / s的正弦分量,大小为零。

你可能会想知道一个函数F(ω),可以报告级和阶段。傅里叶变换产生复数的函数,这意味着变换本身既不是频率成分的大小在f (t)和这些组件的阶段。与任何复数,我们必须执行额外的计算提取级或阶段。

复值变换的概念更直观的,当我们使用离散傅里叶变换,而不是一个“标准”符号函数的变换,我们开始的时间和结束一个象征性的频率的函数。

离散傅里叶变换作用于一个数值序列,和它产生的序列的傅里叶系数。这些系数是典型的复数(即。,他们形成一个+ jb),和我们通常用这些复杂的数字的大小,计算√(a²+ b²),在分析信号的频谱。

在数据块频率含量极为常见,测试报告,教科书等等。beplay无法取钱我们经常提到的一块大小和频率作为一个频谱的例子,“让我们来看看的频谱信号”意味着“让我们来看看一些级信息的可视化表示的傅里叶变换”。

下面的图显示了一个的光谱AC-coupled方波的幅度1和1赫兹的频率。

如果你比较绘制振幅的频率“峰值”中相应的正弦分量的振幅无穷级数上面所讨论的,您将看到,他们是一致的。

我们几乎在本文的结尾,我还没有告诉你我们如何产生信号的傅里叶变换的数学定义。

老实说,我不认为需要彻底探索数学细节在一篇介绍性文章:频域分析现在主要是用户友好的,基于软件的beplay体育下载不了技术,和工程师不花很多时间将象征性的时域表达式转化为象征性的频域表达式。

然而,与傅里叶变换一样重要的东西,最好至少了解潜在的数学。因此,闲话少说,这就是我们f (t)转化为f(ω):

\ [F(\ω)= \ int \ limits_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {F (t) {e ^ {- j \ωt}} dt} \]

我希望本文提供了一个清晰的、直观的解释傅里叶变换是什么以及它如何给我们额外的洞察本质的一个信号。

傅里叶变换仅仅是开始的数组的相关话题;如果你想了解更多,请看下面列出的文章。

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