不要只是坐在那里!构建的东西! ! |
学习数学分析电路需要学习和实践。通常,学生通过大量的实践工作示例问题与那些课本提供的检查他们的答案或老师。虽然这是好的,有一个更好的方法。
你会学到更多构建和分析实际电路,让您的测试设备提供“答案”,而不是一本书或另一个人。成功circuit-building练习,遵循这些步骤:
避免极高和极低电阻的值,以避免测量误差引起的计“加载”。我建议1 kΩ之间的电阻和100 kΩ,除非,当然,电路的目的是为了说明表加载的影响!
一个方法你可以节省时间和减少错误的可能性逐步开始从一个非常简单的电路和添加组件增加其复杂性分析后,而不是为每个实践构建一个全新的电路问题。另一个节省时间的技巧是重用相同的组件在各种不同的电路配置。这种方式,你不需要测量任何组件的价值不止一次。
让电子本身给你答案你自己的“实践问题”!
我的经验,学生需要多练习与电路分析成为精通。为此,教师通常为学生提供大量的工作实践问题,并为学生提供答案检查自己的工作。虽然这种方法使学生精通电路理论,它未能完全教育他们。
学生不需要数学练习。他们也需要真实的,动手实践构建电路和使用的测试设备。所以,我建议以下替代方法:学生应该构建自己的“实践问题”与真正的组件,并尝试数学预测不同的电压和电流的值。这种方式,数学理论“活着,”和学生获得实际能力他们不会获得仅仅通过求解方程。
这种方法的练习后的另一个原因是教学生科学的方法:测试一个假设的过程(在这种情况下,数学预测)通过执行一个真正的实验。学生也将发展真正的故障排除技巧,因为他们偶尔使电路结构错误。
花几分钟时间和你的类来回顾一些“规则”的构建电路之前就开始了。讨论这些问题和你的学生在同一个苏格拉底的方式你通常会讨论工作表的问题,而不是简单地告诉他们他们应该和不应该做什么。总是令我惊讶差学生掌握指令时呈现在一个典型的讲座(教师独白)格式!
写给那些教练可能会抱怨“浪费”时间需要学生建立真正的电路,而不只是数学分析理论电路:
你的课程学生的目的是什么?
如果你的学生将与实际电路,然后他们应该学习尽可能在实际电路。如果你的目标是教育理论物理学家,那么坚持抽象分析,通过各种方法!但是我们大多数人计划为我们的学生做一些在现实世界中与我们给他们的教育。beplay网页版本“浪费”时间建立真实电路将支付巨额红利的时候为他们将他们的知识应用到实际问题。
此外,让学生建立自己的练习教他们如何执行的问题主要研究,从而让他们继续他们的电气/电子自主教育。beplay网页版本
在大多数科学、现实的实验更加困难和昂贵的比电路设置。核物理学、生物学、地质学和化学教授就希望能够有学生高等数学应用到实际实验带来不安全隐患和花费不到一本教科书。他们不能,但你能。你的科学利用固有的便利,得到你的这些学生练习他们的数学很多真正的电路!
变量随时间的衰减RC或LR电路遵循这一数学表达式:
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在那里,
e =欧拉常数(≈2.718281828)
t =时间,以秒为单位
τ=电路时间常数,在几秒钟内
举个例子,如果我们要评估这个表达式,得出一个值为0.398时,我们会知道问题的变量已经腐烂在指定的时间内从100%降至39.8%。
然而,计算时间的变量的数量达到指定的百分比是更加困难。我们必须操纵方程解出,这是一个指数的一部分。
显示下面的方程可以求解t进行了代数运算,其中x是在0和1之间(包容)代表的比例变量的初始值问题:
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注意:这里的“诡计”是如何隔离指数[(−t) /(τ)]。你将不得不使用自然对数函数!
显示所有必要的步骤:
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根据我的经验,大多数美国高中毕业生在对数极度疲弱。显然这不是在高中教得很好,这是一个遗憾,因为对数是一个有力的数学工具。你可能会发现有必要向学生解释什么是对数,和为什么它un-does”指数。
当被迫给一个快速介绍对数,我通常从一个通用的定义:
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口头上的定义,对数函数要求我们找到基本的权力(a) (b),将产生c。
接下来,我将介绍常用对数。当然,这是一个对数的基地10。几个快速计算器练习帮助学生掌握常用对数函数是什么:
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在这之后,我介绍的自然对数e:对数基地(欧拉常数):
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你的学生做这个简单的计算器,计算并解释结果:
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接下来一个练习来帮助他们了解对数可以撤销”求幂。你的学生计算下列值:
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现在,让他们取自然对数的每一个答案。他们会发现他们到达原来的指数的值(分别为2、3、4)。在黑板上写这关系你的学生的观点:
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问你的学生来表达这种关系在一般形式,用变量x的能力而不是一个实际的数字:
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它现在应该明显,自然对数函数能够撤销”的幂e。现在你的学生应该清楚为什么在给定序列的代数运算对于这个问题的回答是正确的。
重写这个数学表达式,以便指数项(−x)不再是消极的:
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计算器按键序列描述你将不得不通过评估这个表达式给出任何特定值x。
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我通常不喜欢讨论计算器按键序列大学学生,但我已经采取在我教的大学,因为我的许多学生不知道如何评估指数表达式!当然,实际的击键必须推动评估这个表达式依赖计算器使用的品牌。
在一个聚会上,你碰巧注意到一位数学家笔记边看着食物表,设置几个披萨。走到她,你问她在做什么。我数学建模的披萨,”她告诉你。之前你有机会问另一个问题,她集记事本放在桌子上,借口自己去厕所。
看记事本,你会看到以下方程:
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在那里,
t =时间在几分钟内从披萨的到来。
问题是,你不知道她写方程描述了披萨吃的比例或百分比的披萨剩余的放在桌子上。解释如何确定哪些百分比这个方程式。究竟如何,你能告诉,如果这个方程式的披萨已经吃或吃的披萨还有待吗?
这个方程模型披萨的百分比剩下的在桌子上在时间t,不是已经吃了多少。
虽然有些人可能会想知道这个问题与电子,这是一个运动在定性分析。这个技能是非常重要的对于学生掌握如果他们能够区分方程e−(t /(τ))和1−e−(t /(τ)),用于时间常数电路分析。
实际的过程来确定方程的性质很简单:考虑会发生什么当t始于0,因为它增加一些任意的积极价值。一些学生可能依赖计算器,进行实际计算是否增加或减少的百分比随着t。鼓励他们而不是定性定量分析方程,虽然。他们应该能够告诉百分比的变化随着时间的推移而无需考虑单个数值!
以下两个表达式经常用来计算值(电压和电流)变化的变量钢筋混凝土和LR计时电路:
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其中一个表达式描述百分比变化值RC或LR电路已经从一开始的时间。其他表达式描述相同的变量已经离开去前达到其最终值(t =∞)。
问题是,这表情代表数量?这通常是一个点的混乱,因为学生倾向于尝试关联这些表达式死记硬背的数量。表达式的e−(t /(τ))代表一个变量发生了变化,或者它已经离开走多远,直到稳定吗?其他的表达式1−e−(t /(τ))吗?更重要的是,我们怎样才能算出来,所以我们不需要依靠记忆?
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这是一个提示:设置x 0和评估每一个方程。
是非常重要的对于学生理解这个表达式意味着什么,它是如何工作的,免得他们仅仅依靠记忆在他们的计算中使用它。我总是告诉我的学生,死记硬背将你失败了!如果一个学生不理解为什么表达作品一样,他们将无助的保留它作为一个有效的“工具”在未来执行计算。
图电容器电压(VC)和电容电流(IC)随着时间的推移这个电路的开关是关闭的。假设电容器开始于一个完整的卸货状态(0伏特):
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然后,选择和修改适当形式的方程(从下面)来描述每一个情节:
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你的学生解释为什么电压和电流曲线的形状。
以下电路允许电容器快速充电,慢慢地放电:
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假设开关的“充电”的立场对于一些可观的时间。然后,有人将切换到“放电”位置让电容器放电。计算电容电压和电容电流的数量在3秒后切换到“放电”的位置。
VC=
@ t = 3秒
我C=
@ t = 3秒
此外,显示在这个电路放电电流的方向。
以下电路允许电容器是迅速放电,慢慢地指控:
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假设开关的“放电”位置对于一些可观的时间。然后,有人将切换到“充电”的立场让电容器充电。计算数量的电容器电压和电容电流在45毫秒后切换到“充电”的位置移动。
VC=
@ t = 45女士
我C=
@ t = 45女士
VC=-13.08伏特
@ t = 45女士
我C=
236.6μA@ t = 45女士
后续问题:显示充电和放电电流的方向在这个电路。
在这里,学生必须选择使用哪个方程(s)的计算,计算电路的时间常数,并把所有的变量在正确的位置来获得正确的答案。与你的学生讨论所有这些步骤,允许他们解释他们如何找到这个问题。
如果有人问起,让他们知道所示的电容器符号代表一个极化电解电容器。
定性确定所有组件的电压以及电流的所有组件在这个简单RC电路在三个不同时期:(1)在开关关闭之前,(2)在即时开关接触联系,和(3)开关已经关闭了很长一段时间。假设电容完全放电状态开始:
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表达你的答案定性:“最大”、“最小”,或者“零”如果你知道情况。
开关关闭前:
VC=
VR=
V开关=
我=
在开关闭合的瞬间:
VC=
VR=
V开关=
我=
开关已经关闭了很长时间后:
VC=
VR=
V开关=
我=
提示:一个图可能是一个有用的工具来确定的答案!
定性确定所有组件的电压以及电流的所有组件简单的LR电路在三个不同时期:(1)在开关关闭之前,(2)在即时开关接触接触,和(3)开关已经关闭了很长一段时间。
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表达你的答案定性:“最大”、“最小”,或者“零”如果你知道情况。
开关关闭前:
Vl=
VR=
V开关=
我=
在开关闭合的瞬间:
Vl=
VR=
V开关=
我=
开关已经关闭了很长时间后:
Vl=
VR=
V开关=
我=
提示:一个图可能是一个有用的工具来确定的答案!
开关关闭前:
Vl= 0
VR= 0
V开关=最大
我= 0
在开关闭合的瞬间:
Vl=最大
VR= 0
V开关= 0
我= 0
开关已经关闭了很长时间后:
Vl= 0
VR=最大
V开关= 0
I =最大
后续问题:哪些变量保持不变立即之前和开关后立即关闭?解释为什么。
这个问题的目的是预览的概念“初始”和“最终”值RC电路,在他们学习使用“通用时间常数公式”。
终值的计算电流通过电感和开关在左边位置(假设许多时间常数的值的时间已经过去了):
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现在,假设开关立即搬到右边位置。电压感应最初会减少多少?
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解释为什么这个电压是非常不同的电源电压。这样的电路可能会有什么实际用途?
我开关−左马= 2
V开关−正确= 182 V
后续的问题:假设这个电路建立和测试,发现目前发达在电感电压开关搬到右边位置远远超过182伏特。确定电路中的一些可能的问题可以解释这种过度的电压。
这个问题的主要目的是让学生思维的“初始”和“最终”值LR电路,以及一个如何计算它们。这在很大程度上是一个概念性的问题,只有必要的计算。
这方面的一个实际应用电路是直流电压“加大”。所示的电路拓扑结构是一个问题反相转换器电路。这种形式的直流-直流转换器电路电压有能力一步或下来,根据开关的责任周期的振荡。
一个不好的倾向,许多新学生马上把数字方程当面对一个时间常数电路的问题,之前仔细考虑电路。解释为什么遵循下面的步骤是非常明智的之前执行任何数学计算:
我会让你和你的同学和老师讨论这个问题!
这是建议我经常给我的学生,在看到这么多学生使自己陷入麻烦,盲目地将数字输入方程。认为在你行动之前,这里的座右铭!
实际上,这个建议也适用于大多数physics-type问题:确定什么是你试图解决之前你必须跳进计算。
假设一个电容器充电100伏特的电压,然后再连接到一个电阻,因此排放缓慢。计算量剩余电压的电容器终端在以下几点:
后续问题:写一个方程求解这些电压在指定的时间。
虽然学生应该能够查找近似回答这个问题从几乎任何电子课本开始,这里的重点是让他们把问题一个实际的公式,这样他们可以自己计算。
计算出470μF电容器放电的电压通过一个10 kΩ电阻器9秒钟,如果电容器的初始电压24伏(t = 0)。
同时,表达这种时间(9秒)的多少时间常数运行。
EC= 3.537伏特@ t = 9秒。
9 s = 1.915时间常数τ(1.915)
这里,学生必须选择使用哪个方程的计算,计算电路的时间常数,并把所有的变量在正确的位置来获得正确的答案。与你的学生讨论所有这些步骤,允许他们解释他们如何找到这个问题。
计算当前通过250 mH电感后“充电”通过电阻的串联电阻100Ω6毫秒,由一个12伏的电池。假设电感是完美的,没有内部电阻。
同时,表达这种时间(6毫秒)的多少时间常数运行。
我l= 109.11 mA @ t = 6毫秒
6 ms = 2.4时间常数τ(2.4)
这里,学生必须选择使用哪个方程的计算,计算电路的时间常数,并把所有的变量在正确的位置来获得正确的答案。与你的学生讨论所有这些步骤,允许他们解释他们如何找到这个问题。
确定电容器的电压在指定的时间(时间t = 0毫秒开关接触密切的确切时刻)。假设电容完全放电状态:开始
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一定要你的学生分享他们的解决问题的技巧(如何确定使用哪个方程,等等)在课堂上。
情节电容器电压和电容电流随着时间的推移,这个电路的开关关闭后,至少4次常数”的时间:
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确保标签的轴图!
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我故意离开图任何范围的问题,所以,学生们可能会决定自己的尺度情节点。答案显然不是理想中所示的比例,随着图形已经达到他们的终端值(实际上)水平轴之前完成。
画出电感器电压和电感电流随着时间的推移,这个电路的开关关闭后,至少4次常数”的时间:
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确保标签的轴图!
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我故意离开图任何范围的问题,所以,学生们可能会决定自己的尺度情节点。答案显然不是理想中所示的比例,随着图形已经达到他们的终端值(实际上)水平轴之前完成。
计算的时间量33μF电容器充电从0伏特到20伏,如果由一个24伏电池通过10 kΩ电阻器。
0.591秒
为了让学生为了解决这个问题,他们必须用代数方法操纵“正常”的时间常数公式求解时间而不是解决电压。
确定需要的时间开关关闭后电容器电压(VC)达到指定的级别:
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跟踪电路电子流动的方向,也标志着所有电压极性。
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一些学生可能写5.17秒收取40伏所需的时间(5时间常数的时间)。如果是这样的话,提醒他们,“标准”的5τ是任意的,理论上,电容器从来没有真正达到完全充电。
一个简单的延时继电器电路可能使用一个大电容器与继电器线圈并联连接,暂时提供继电器线圈主电源断开后与权力。在接下来的电路,按下按钮开关声音喇叭,它仍在短暂时间后释放开关:
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计算的时间按钮开关后角将继续释放,我们必须知道一些事情关于继电器本身。由于继电器线圈作为电阻负载电容,我们必须知道线圈的电阻在欧姆。我们也必须知道的电压继电器“滴”(即有太少的点电压线圈保持一个足够强大的磁场来控制继电器接触关闭)。
假设电源电压24伏,2200μF电容器,继电器线圈电阻为500Ω,线圈开断电压为6.5伏。计算时间延迟将会持续多久。
t延迟= 1.437秒
为了让学生为了解决这个问题,他们必须用代数方法操纵“正常”的时间常数公式求解时间而不是解决电压。
设计一个实验来计算电容器的大小根据其响应时间常数电路。设计中包括一个方程,使电容器的值在法拉,基于获得的数据通过运行实验。
我推荐以下电路用于测试电容:
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方程是你的开发——我不会展示在这里。然而,这并不意味着没有办法核实你的方程的准确性,一旦你写它。解释有可能证明代数的准确性,一旦你写方程。
在发展方程,学生常常感到“被遗弃”如果老师不为他们提供一个答案。他们将如何知道他们的方程是正确的吗?如果这种现象方程寻求预测是容易理解的,然而,这不是一个问题。
一个有用的技术,分析RC时间常数电路是考虑什么最初的和最后电路变量的值(电压和电流)。考虑这四个RC电路:
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在每一个电路,确定初始值将电压和电流通过电容器,电阻器(标记)。这些将电压和电流的值在第一时刻的开关状态变化示意图所示。同时,确定最后的值将为相同的变量(在一个足够大的时间已经过去了的变量都是“解决”他们的终极价值)。电容器的初始电压显示在所有情况下这是任意的。
图1:
VC(初始)= 0 V(给) | VC(最终)= 15 V |
我C(初始)马= 1.5 | 我C(最终)马= 0 |
VR(初始)= 15 V | VR(最终)V = 0 |
我R(初始)马= 1.5 | 我R(最终)马= 0 |
图2:
VC(初始)= 25 V(给) | VC(最终)V = 0 |
我C(初始)马= 25 | 我C(最终)马= 0 |
VR(初始)= 25 V | VR(最终)V = 0 |
我R(初始)马= 25 | 我R(最终)马= 0 |
图3:
VC(初始)= 4 V | VC(最终)V = 7 |
我C(初始)= 81μA | 我C(最终)= 0μA |
VR(初始)V = 3 | VR(最终)V = 0 |
我R(初始)= 81μA | 我R(最终)= 0μA |
图4:
VC(初始)= 10 V | VC(最终)= 12 V |
我C(初始)= 606μA | 我C(最终)= 0μA |
VR(初始)V = 2 | VR(最终)V = 0 |
我R(初始)= 606μA | 我R(最终)= 0μA |
后续问题:解释为什么电感值(亨利)在确定初始无关”和“最终”电压和电流的值。
一旦学生掌握的概念最初的和最后值在时间常数电路,他们可能计算任何变量在任何时候任何RC或LR电路(尽管不是RLC电路,因为这些需要一个二阶微分方程的解决方案!)。所有他们需要的是普遍的时间常数方程:
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当然,(x代表电压或电流,根据计算。)
一个常见的错误新生经常提交是考虑“初始”的值,这些值现有电路中电压和电流之前开关。然而,“初始”是指这些值在第一个即时开关移动到新的位置,而不是之前。
一个有用的技术分析LR是考虑什么时间常数电路最初的和最后电路变量的值(电压和电流)。考虑这四个LR电路:
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在每一个电路,确定初始值将电压和电流通过电感和电阻(标记)。这些将电压和电流的值在第一时刻的开关状态变化示意图所示。同时,确定最后的值将为相同的变量(在一个足够大的时间已经过去了的变量都是“解决”他们的终极价值)。
假定所有电感是理想,拥有没有线圈电阻(R线圈= 0Ω)。
图1:
VL(初始)= 15 V | VL(最终)V = 0 |
我L(初始)马= 0 | 我L(最终)马= 1.5 |
VR(初始)V = 0 | VR(最终)= 15 V |
我R(初始)马= 0 | 我R(最终)马= 1.5 |
图2:
VL(初始)= 50.4 V | VL(最终)V = 0 |
我L(初始)马= 3.38 | 我L(最终)= 825μA |
VR(初始)= 74.4 V | VR(最终)= 18.1 V |
我R(初始)马= 3.38 | 我R(最终)= 825μA |
图3:
VL(初始)= 370 V | VL(最终)V = 0 |
我L(初始)马= 10 | 我L(最终)马= 0 |
VR(初始)= 370 V | VR(最终)V = 0 |
我R(初始)马= 10 | 我R(最终)马= 0 |
图4:
VL(初始)= 6 V | VL(最终)V = 0 |
我L(初始)= 638μA | 我L(最终)马= 1.91 |
VR(初始)V = 3 | VR(最终)= 9 V |
我R(初始)= 638μA | 我R(最终)马= 1.91 |
后续问题:解释为什么电感值(亨利)是无关紧要的决定“初始”和“最终”电压和电流的值。
一旦学生掌握的概念最初的和最后值在时间常数电路,他们可能计算任何变量在任何时候任何RC或LR电路(尽管不是RLC电路,因为这些需要一个二阶微分方程的解决方案!)。所有他们需要的是普遍的时间常数方程:
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当然,(x代表电压或电流,根据计算。)
一个常见的错误新生经常提交是考虑“初始”的值,这些值现有电路中电压和电流之前开关。然而,“初始”是指这些值在第一个即时开关移动到新的位置,而不是之前。
我喜欢用公式计算电压和电流的值RC或LR电路有两种形式,一为电压和电流:
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“0”下标代表条件时间= 0 (V0或者我0分别),表示该变量的“初始”价值。“f”下标代表“最终”或“终极”值,电压或电流将达到如果任其发展下去。很明显,一个人必须知道如何确定“初始”和“最终”值为了使用这些公式,但是一旦你将能够计算任何电压和任何目前在任何时间在一个钢筋混凝土或LR电路。
学生不那么显而易见的是每一个公式是如何工作的。具体来说,每个部分代表,实际上呢?这是你的任务:描述方程的每一项是什么意思你自己的话。我将单独列出“电压”公式来定义:
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V (t)这个词使用象征常用微积分,微积分,明显“V (t)”意味着“电压在时间t”。这意味着作为一个变量V变化函数时间t。
(Vf−V0)代表的数量改变电压会经历,从一开始的充电/放电循环,直到永恒。注意标志(正面或负面)这一项是非常重要的!
(1−[1 / (e(t /(τ)))])分数值(0和1之间,包容性)表达电压改变了多远从初始值到最终的价值。
后续问题:为什么它是重要的添加最后的V0词来表达?为什么不离开公式V (t) = (Vf−V0)(1−[1 / (e(t /(τ)))))?
这种所谓的“万能的时间常数公式”是我自己的发明(托尼·r·Kuphaldt)。沮丧的产物从试图教学生计算变量在RC和LR时间常数电路使用一个衰减公式,另一个用于提高值,这个方程适用于所有条件。这个公式的准确性至关重要,然而,是学生正确评估初始和最终值。这是我看到的最大问题学生当他们去计算电压或电流的时间常数电路。
在我在电路课程教科书,我将介绍这个公式以略微不同的形式:
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这就解释了我的后续问题的目的:挑战学生可能只是读这本书版的公式和不考虑之间的区别,提出了这里!
确定通过电容器的电压开关后三秒内从上层位置搬到较低的位置,如果它一直留在上面的位置在很长一段时间:
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EC= 3.974 V @ 3秒
后续问题:识别至少一个失败在这个电路从而导致电容完全放电无论什么位置开关。
这个问题的独特之处在于,电容器不放电到0伏特时开关移动到较低的位置。相反,它排放到3伏的(最终)值。解决答案要求学生有点创意与常见的时间常数方程(e−(t /(τ))和1−e−(t /(τ)))。
后续问题只是一种故障诊断理论。
计算电压开关接触的时刻他们开放,和15毫秒后打开:
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E开关= 40.91 V @ t = 0秒
E开关@ = 9.531 V t = 15毫秒
后续问题:预测所有的电压降在这个电路的电感不开放(断线)。
有很多计算以达到这个问题的解决方案。有一个以上的有效方法,。需要注意的一个重要事实:电压开关接触,在这两个例子,大于电池电压!正如电容时间常数电路可以产生电流超过他们的电源供应,可以归纳时间常数电路能产生电压超过他们的电源可以提供什么。
后续问题只是一种故障诊断理论。
变量的衰变(电压或电流)在一个时间常数电路(RC或LR)遵循这一数学表达式:
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在那里,
e =欧拉常数(≈2.718281828)
t =时间,以秒为单位
τ=电路时间常数,在几秒钟内
计算表达式的值随着t增加,给定一个电路时间常数(τ)1秒。这个值表示为一个百分比:
根据你的计算,你如何描述表达式的值的变化随着时间的推移增加?
这个问题的目的是让学生学习的意义表达e−(t /(τ))“玩”的数字。消极的指数可能会让一些学生感到困惑,所以一定要与所有的学生讨论它的重要性,所以都明白这意味着什么。
另一个概念对学生掌握在这个问题的渐近功能:一个函数方法最终价值增量更小的间隔。
变量的衰变(电压或电流)在一个时间常数电路(RC或LR)遵循这一数学表达式:
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在那里,
e =欧拉常数(≈2.718281828)
t =时间,以秒为单位
τ=电路时间常数,在几秒钟内
计算表达式的值随着t增加,给定一个电路时间常数(τ)2秒。这个值表示为一个百分比:
同时,表达任何的百分比值增加变量(电压或电流)在一个钢筋混凝土或LR充电电路,同样的条件(同样的时间,同样的时间常数)。
不要简单地告诉你的学生如何计算增加变量的值。基于曲线定性时间常数电路的知识和能力评估向下(衰减)表达,他们应该能够找出如何计算增加变量的值随着时间的推移。
一些学生将坚持你给他们一个方程。他们想被告知要做什么,而不是自己解决问题的基于模式的观察。是非常重要的,学生的科学学习识别数据中的模式,并学会适应数据转换成一个数学方程。别的不说,这些数据给出的答案都减少和增加变量应该足够简单。
写一个数学表达式计算的百分比值增加变量(电压或电流)在一个钢筋混凝土或LR电路时间常数。
提示:这个公式计算的百分比减少变量在一个RC或LC电路时间常数如下:
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在那里,
e =欧拉常数(≈2.718281828)
t =时间,以秒为单位
τ=电路时间常数,在几秒钟内
这里,表达式的值从1开始时(100%)= 0 0(0%)和方法随着时间的方法∞。我要求你得到的是一个等式,正好相反:从一个值0开始时间= 0和方法∞值随着时间的方法。
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能够得到一个方程的数值数据是一个复杂的,但是非常有用,在所有科学技能。当然,你的学生将能够找到这个数学表达式在几乎任何基本的电子教科书,但关键的问题是推导出这个表达式从考试的数据(当然,其他考试时间常数表达式:e−(t /(τ)))。
一定要挑战你的学生要做到这一点,通过询问他们如何获得这个问题的答案。不“解决”,学生只是告诉你什么是方程——要求他们解释他们的解决问题的技术,确保所有学生都贡献了他们的见解。
计算变量反应电路使用时间常数公式可以耗费时间,由于所需的所有按键一个计算器。更糟糕的是,当一个计算器不可用!你应该准备估计电路值没有计算器做数学的好处,不过,因为计算器可能并不总是可用,当你需要一个。
请注意,欧拉常数(e)约等于3。这不是一个近似,但足够近“粗糙”估计。如果我们使用一个值三个代替e的真正价值2.718281828…,我们可以极大地简化“衰变”时间常数公式:
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假设一个电容放电电路开始完全充电10伏的电压。在下面时间计算电容器的电压放电,假设τ= 1秒:
不使用一个计算器,你至少应该能够计算电压值分数如果不是小数!
后续的问题:不使用计算器来检查,确定是否这些电压在估计或下估计。
计算电压常数前几次的时间应该很容易没有计算器。我强烈建议你的学生发展他们的估算技能,这样他们可以解决问题而不依赖于一个计算器。太多的学生严重依赖计算器——有些人甚至依赖特定的品牌或型号的计算器!
同样重要的是能够估计是知道你的估计是否或在确切的值。尤其如此,当估计量相关的安全性和/或可靠性。
计算变量反应电路使用时间常数公式可以耗费时间,由于所需的所有按键一个计算器。更糟糕的是,当一个计算器不可用!你应该准备估计电路值没有计算器做数学的好处,不过,因为计算器可能并不总是可用,当你需要一个。
请注意,欧拉常数(e)约等于3。这不是一个近似,但足够近“粗糙”估计。如果我们使用一个值三个代替e的真正价值2.718281828…,我们可以极大地简化”增加“时间常数公式:
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假设一个电容充电电路开始完全放电(0伏特),和费用的最终价值10伏特。在下面时间计算电容器的电压放电,假设τ= 1秒:
不使用一个计算器,你至少应该能够计算电压值分数如果不是小数!
后续的问题:不使用计算器来检查,确定是否这些电压在估计或下估计。
计算电压常数前几次的时间应该很容易没有计算器。我强烈建议你的学生发展他们的估算技能,这样他们可以解决问题而不依赖于一个计算器。太多的学生严重依赖计算器——有些人甚至依赖特定的品牌或型号的计算器!
同样重要的是能够估计是知道你的估计是否或在确切的值。尤其如此,当估计量相关的安全性和/或可靠性。
确定的时间常数(τ)7.5秒等于在被动电路如下:
这里要注意一件有趣的事是张成的空间时间常数的值可以从常见的电容/电感/电阻大小。学生应该注意到,capacitor-resistor组合(非常实用价值,我可能会添加)创建两个长和短时间常数比inductor-resistor组合值,这甚至包括25亨利- 6.2欧姆的组合,这将是困难的(阅读:昂贵)在现实生活中实现。
在一个聚会上,你碰巧注意到一位数学家笔记边看着食物表,设置几个披萨。走到她,你问她在做什么。我数学建模的披萨,”她告诉你。之前你有机会问另一个问题,她集记事本放在桌子上,借口自己去厕所。
看记事本,你会看到以下方程:
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在那里,
t =时间在几分钟内从披萨的到来。
问题是,你不知道她写方程描述了披萨吃的比例或百分比的披萨剩余的放在桌子上。解释如何确定哪些百分比这个方程式。究竟如何,你能告诉,如果这个方程式的披萨已经吃或吃的披萨还有待吗?
这个方程模型披萨的百分比吃在时间t,不是多少仍在桌子上。
虽然有些人可能会想知道这个问题与电子,这是一个运动在定性分析。这个技能是非常重要的对于学生掌握如果他们能够区分方程e−(t /(τ))和1−e−(t /(τ)),用于时间常数电路分析。
实际的过程来确定方程的性质很简单:考虑会发生什么当t始于0,因为它增加一些任意的积极价值。一些学生可能依赖计算器,进行实际计算是否增加或减少的百分比随着t。鼓励他们而不是定性定量分析方程,虽然。他们应该能够告诉百分比的变化随着时间的推移而无需考虑单个数值!
以下表达式通常是用来计算改变变量的值(电压和电流)在RC和LR计时电路:
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如果我们评估这个表达式的时间t = 0时,我们发现它等于1 (100%)。如果我们评估这个表达式在越来越大的值(t→∞),我们发现它趋于0时(0%)。
基于这个简单的分析,你认为表达e−(t /(τ))描述了一个变量的百分比已经从它的初始值在计时电路,或百分比左改变才能进入最终的价值?帧这个问题在图形上。
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这百分比表达e吗−(t /(τ))代表在每种情况下?解释你的答案。
是否增加或减少变量的问题随着时间的推移,表达e−(t /(τ))描述一个变量的百分比更改之前到达其最终值。
后续的问题:你可以添加或修改的表达式,描述一个变量的百分比已经从它的初始值?换句话说,改变表达式,在t = 0 = 0%,接近100%当t增大(t→∞)。
是非常重要的对于学生理解这个表达式意味着什么,它是如何工作的,免得他们仅仅依靠记忆在他们的计算中使用它。我总是告诉我的学生,死记硬背将你失败了!如果一个学生不理解为什么表达作品一样,他们将无助的保留它作为一个有效的“工具”在未来执行计算。
建议学生方法的一个好方法这是想象t增加等问题。当t增大,表达式的总体价值会发生什么变化?然后,比较的两个百分比(遍历百分比,剩余或百分比)遵循相同的趋势。一个不需要触摸一个计算器算出来!
确定电容器的电压和电容电流在指定的时间(时间t = 0毫秒开关接触密切的确切时刻)。假设电容完全放电状态:开始
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一定要你的学生分享他们的解决问题的技巧(如何确定使用哪个方程,等等)在课堂上。
确定电感电压和电感电流在指定的时间(时间t = 0毫秒的确切时刻开关接触密切的):
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一定要你的学生分享他们的解决问题的技巧(如何确定使用哪个方程,等等)在课堂上。
确定电感电压和电感电流在指定的时间(时间t = 0毫秒的确切时刻开关接触密切的):
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一定要你的学生分享他们的解决问题的技巧(如何确定使用哪个方程,等等)在课堂上。
完成此表为感应电压和电流的值。考虑时间= 0的精确时刻开关关闭:
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这个电路要求小心系统论的初始和最终值。如果学生经历困难计算电压和电流数据,这可能是由于不正确的初始和最终值电压或电流。
计算电压2.5 H电感后“充电”通过一个串联电阻与50Ω电阻为75毫秒,由一个6伏电池。假设14Ω电感器的内部阻力。
同时,表达这种时间(75毫秒)的多少时间常数运行。
提示:它会帮助你分析画一个示意图显示了该电路的电感器的电感和14欧姆的电阻作为两个单独的(理想)组件。这是一个非常常见的分析技术在电气工程:把一个组件的寄生特性作为一个单独的组件在同一电路。
等效原理图:
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El@ = 2.00 V t = 75毫秒
75毫秒= 1.92时间常数τ(1.92)
计算的时间量10μF电容器放电从18伏特到7伏如果最终(最终)完全放电时电压将0伏,它通过22 kΩ放电电阻。
0.208秒
为了让学生为了解决这个问题,他们必须用代数方法操纵“正常”的时间常数公式求解时间而不是解决电压。
确定需要的时间开关关闭后电容器电压(VC)达到指定的级别:
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跟踪电路中电流的方向,而电容器充电,并确保表示是否使用电子或常规流符号。
注意:电压被指定为负的数量,因为他们是负对地面(积极)在这个特定的电路。
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在电容器充电,电子流顺时针移动和传统移动逆时针流动。
问问你的学生展示他们用代数方法解决了标准时间常数t使用对数方程。
确定的时间所需的电容电压(VC)将降至指定的水平切换后扔到“放电”的位置,如果第一次被指控完全电池电压:
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跟踪电路电子流动的方向,也标志着所有电压极性。
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问问你的学生解释他们如何设置每个计算。
潜艇声纳系统使用一个“银行”的并联电容器储存的电能需要发送简短的,强大的脉冲电流传感器(各种各样的“扬声器”)。这产生强大的声波在水中,然后用于回声定位。电容器银行减轻了发电机和配电线路上潜艇从额定为巨大的浪涌电流。发电机trickle-charges电容器银行,然后电容器银行迅速将其存储的能量传感器需要时:
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你可能会想象,这样一个电容器银行也可以是致命的,涉及到的电压很高,冲击电流能力是巨大的。即使直流发电机断开连接(使用“切换”隔离开关示意图所示),电容器可能致命的收费很多天。
帮助降低安全风险的技术人员工作在这个系统上,一个“放电”开关连接并联电容器银行自动放电电流提供路径时发电机断开开关打开:
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假设电容器银行由40 1500μF并联电容器连接(我只知道示意图显示了三个,但是…),和放电电阻是10 kΩ大小。计算的时间需要电容器银行放电到10%的原始电压和放电时间的数量1%的原始电压一旦断开开关打开和放电开关关闭。
时间达到10%≈23分钟
时间达到1%≈46分钟
后续的问题:不使用时间常数公式,计算需要多长时间放电到0.1%的原始电压。0.01%怎么样?
后续问题举例说明了一个重要的数学原理对对数衰减功能:每通过一个固定的时间间隔,该系统同样的衰减因素。这是最明显的(普遍)的概念半衰期放射性物质,但也看到RC (LR)电路。
的“555”集成电路模型是一个非常受欢迎的和有用的“芯片”用于定时电路。这个电路的定时功能的基础是一个电阻电容(RC)网络:
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在这个配置中,“555”芯片作为振荡器:“高”之间来回切换(全电压)和“低”(无电压)输出状态。其中一个州的时间设定的充电电容器的行动,通过电阻(R1和R2在系列)。其他州的时间设定的电容器放电通过一个电阻器(R2):
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显然,必须充电时间常数τ负责= (R1R2)C,而放电时间常数τ放电= R2c在每个州,电容器充电或放电之间的方式开始和最终值的50%(通过555芯片如何操作),所以我们知道表达e[(−t) /(τ)]= 0.5,涨幅50%。
开发两个方程预测时间“充电”和“放电”的555定时器电路,所以,任何人都设计一个这样的电路为特定时间延迟会知道使用什么样的电阻和电容值。
对于那些必须知道为什么,555定时器的配置是为了使电容器电压之间的循环1/3的电源电压2/3的电源电压。所以,当电容器充电1/3VCC(最终)值的完整的电源电压(VCC),有了这个周期中断2/3VCC555芯片构成的中间点,收费2/3之间的一半1/3和1。放电时,电容器起价2/3VCC和中断1/3VCC又构成了50%的方式从那里开始(最终)领导
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虽然似乎还太早介绍555定时器芯片当学生完成他们的研究的,我想提供一个RC电路的实际应用,并生成有用的方程的代数。如果你认为这个问题太先进的学生团体,想尽一切办法跳过它。
顺便说一句,我简化了图显示电容器放电:这里实际上是另一个经常在工作中。因为它不相关的问题,我忽略了它。然而,一些学生可能足够熟练抓遗漏,所以我在这里展示:
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注意,第二个电流(通过电池)不去接近电容器,所以放电周期时间是无关紧要的。
计算电压的变化率([dv / dt])电容器在及时准确即时开关移动到“充电”的位置。假设在此之前运动“放电”的开关已经离开职位一段时间:
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(dv / dt) = 4.44 kV / s或4.44 V /女士
一些学生可能认为4.44的变化率公斤伏每秒港口电击危险,因为4.44千伏的电压!提醒他们,这是一个变动率而不是一个实际的电压图。这个数字仅仅告诉我们电压变化多快,不是它将上升到多远。之间的区别是它说一辆车以每小时75英里的速度,一辆汽车将旅行75英里。
计算电流的变化率([di / dt])电感在及时准确即时开关移动到“充电”的位置。
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(di / dt) / 0.28 = 280 / s或女士
后续问题:电阻对这个初始值有影响(di / dt) ?解释为什么或为什么不。
一些学生可能认为每秒280安培的变化率可能烧毁电线,因为电流280安培似乎很多。提醒他们,这是一个变动率而不是一个实际的电流图。这个数字只是告诉我们当前的速度是变化的,不是它将上升到多远。之间的区别是它说一辆车以每小时75英里的速度,一辆汽车将旅行75英里。
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微分方程可用于RC电路的充电行为模型。比如,这个简单RC电路:
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我们可以开发一个基于回路方程基尔霍夫电压定律,知道电源的电压是恒定的(30伏特),通过电容器的电压降和电阻是VC=问/C和VR= IR,分别为:
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把这变成一个真正的微分方程,我们必须表达的一个变量的导数。在这种情况下,它是有意义的,我定义为对时间的问:
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显示特定的解微分方程,假设一个初始条件的问在t = 0 = 0,如下:
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同时,显示这个解决方案在一个表单,它解决了电容器电压(VC)而不是电容器充电(Q)。
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由于电荷存储在电容器的初始条件为零(Q = 0)在时刻0 (t = 0),积分常数必须等于30 c在我们特定的解决方案:
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用给定的组件值到这个特定的解决方案给我们最后的方程:
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显示最后一个方程的电容器电压代替电容器充电:
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RC时间常数电路是一个很好的例子,如何应用简单的微分方程。在这种情况下,我们可以看到,一阶微分方程,用分离变量,使其相对容易解决。
学生也应该是显而易见的任何初始条件的电容器充电可能被设置成通解(通过改变常数的值)。
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微分方程可用于模型的充电行为L / R电路。比如,这个简单的L / R电路:
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我们可以开发一个回路方程基于基尔霍夫电压定律,知道电源的电压是恒定的(40伏),和电感和电阻的电压降是Vl= L (dI / dt)和VR= IR,分别为:
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显示特定的解微分方程,假设一个初始条件的我在t = 0 = 0,如下:
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给定的初始条件为零电流(I = 0)时零(t = 0),积分常数必须等于(40 / R)在我们的具体解决方案:
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用给定的组件值到这个特定的解决方案给我们最后的方程:
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L / R时间常数电路是一个很好的例子如何应用简单的微分方程。在这种情况下,我们可以看到,一阶微分方程,用分离变量,使其相对容易解决。
学生也应该是显而易见的任何初始条件为当前可能被设置成通解(通过改变常数的值)。
假设这个电路的开关切换(交换位置)每隔5秒,开始在“上”(电荷)的位置在时间t = 0,而电容器充分放电状态开始。确定在每个开关切换电容器电压:
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这种被动的积分器电路是由方波电压源(0伏特和5伏特之间的振荡频率的2千赫)。确定输出电压(v出)的积分器在每一瞬间的方波转换(从0到5伏,或从5 0伏特),假设电容完全放电状态开始在第一个转变(从0伏特到5伏特):
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挑战的问题:什么是最终的(最终)值积分器输出锯齿波的峰值电压?
一定要你的学生分享他们的解决问题的技巧(如何确定使用哪个方程,等等)在课堂上。看看有多少人注意到指数部分的方程(e(t /(τ)))为每个计算都是一样的,如果他们发现一个简单的方法来管理存储充电/放电百分比计算的计算器的记忆!
470年μF电容器始于270伏特的带电状态,并通过100 kΩ电阻放电。要多长时间在电容器的电压将下降到一个相对安全的价值(30伏或更少)?
需要103.3秒的电压降至30伏特。
这个问题包含电气安全变成一个RC电路的时间计算。安全是你应该定期重新与你的学生,因为它是如此重要。问你的学生如何“安全”的电压可能会决定,如果有环境影响的决心。
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